aaaaCzęsto usiłujemy ukryć nasze uczucia przed tymi, którzy powinni je poznać.aaaa [ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wyk“ady z matematyki dla student
ó
w
Marek Majewski
Aktualizacja: 31 pa„dziernika 2006
gospodarki przestrzennej U
Š
2
Spis tre–ci
1 Macierze i wyznaczniki 5
1.1 Macierze
podstawowe okre–lenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2 Dzia“ania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4 W“asno–ci wyznacznik
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5 Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2 Uk“ady r
ó
wna« 19
2.1 Podstawowe okre–lenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 Uk“ady Cramera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3 Rz¡d macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4 Rozwi¡zywanie dowolnych uk“ad
ó
w r
ó
wna« liniowych . . . . . . . . . . . .
22
3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni 25
3.1 Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2 R
ó
wnania p“aszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3 R
ó
wnania prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4 Wzajemne po“o»enie punkt
ó
w, prostych i p“aszczyzn . . . . . . . . . . . . .
33
Wyk“ad 1
Macierze i wyznaczniki
1.1. Macierze
podstawowe okre–lenia
De
nicja 1.
Macierz¡ (rzeczywist¡) wymiaru
m£n
, gdzie
m;n2
N, nazywamy prosto-
k¡tn¡ tablicƒ z“o»on¡ z
m¢n
liczb rzeczywistych ustawionych w
m
wierszach i
n
kolumnach.
2
a
11
a
12
:::a
1
n
a
21
a
22
:::a
2
n
. .
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
:::a
mn
3
6
6
6
6
4
7
7
7
7
5
Macierze bƒdziemy oznaczali wielkimi literami alfabetu np.A
;
B
;
C
;
Xitd.
Element macierzy stoj¡cy w
i¡
tym wierszu oraz w
j¡
tej kolumnie oznaczamy przez
a
ij
:
MacierzAmo»na zapisywa¢ w postaci[
a
ij
]
m£n
lub[
a
ij
]
;
gdy znany jest jej wymiar.
MacierzeAiBs¡ r
ó
wne, gdy maj¡ takie same wymiary i gdy
a
ij
=
b
ij
, dla
i2
f
1
;
2
;:::;mg;j2f
1
;
2
;:::;ng:
Przyk“ad 1.
"
#
10
63
1.
A=
macierz wymiaru2
£
2
;
2.
B=
h
231
1
2
i
macierz wymiaru1
£
4
;
2
3
237
125
033
042
3.
C=
6
6
6
6
4
7
7
7
7
5
macierz wymiaru4
£
3
:
Mamy tu:
c
12
=3
;c
23
=5
:
De
nicja 2.
1.
Macierz wymiaru
m£n;
w kt
ó
rej wszystkie elementy s¡ zerami nazywamy macierz¡
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]